L’appartenance et l’inclusion sont deux notions essentielles pour comprendre le concept d’ensembles. Ce sont des notions mathématiques importantes.

Appartenance

Rappelons nous d’abord qu’un ensemble désigne un groupe ou une collection d’objets quelconques. Les objets d’un ensemble sont appelés éléments.

Par convention, on note en général les ensembles en majuscule et les éléments en minuscule. Par exemple, si A est l’ensemble des 5 premières lettres de l’alphabet, alors  “a”  et “b” en sont par exemple des éléments. Ou encore si on parle des villes de France et qu’on nomme V cet ensemble, la ville de Paris notée p est un élément de l’ensemble V.

Le symbole de l’appartenance est ∈ . On peut donc écrire pour l’exemple précédent : p ∈ V. 

Inclusion

Considérons toujours l’exemple précédent des villes de France. Si on nomme  I  l’ensemble des villes du département Île de France, alors la ville de Paris appartient à cet ensemble (car Paris fait partie des villes de ce département). On note : p ∈ I. 

Et comme toutes les villes de l’Île de France sont des villes de France, on dit que l’ensemble des villes de l’Île de France est inclut dans l’ensemble des villes de France. Et on note : I ⊂ V.    

Vous l’avez remarqué : le symbole de l’inclusion est ⊂.

Remarque(s) :

La non appartenance se note ∉.  Par exemple : Si on nomme b la ville de Bruxelles, on peut noter  b ∉ V.

La non inclusion se note ⊄.  Par exemple : Si on nomme S l’ensemble des villes de Seine Maritime, on peut noter  S ⊄ I.

Un ensemble qui n’a aucun élément est considéré comme un ensemble vide et se note ∅. Par exemple, si je vous dis que Abracadabra est un département français et qu’on la nomme A, il est bien évident qu’aucune ville française n’appartient à ce département. On notera A = ∅.

Et comme ce département Abracadabra est une invention pour servir d’exemple dans ce cours de mathématiques, on conclura en disant tout simplement qu’il n’existe pas. Ce qui se note A  ∄. Contrairement à I qui existe et se note I ∃.